Site Untitled

まずは前回の宿題の解答例から。斜交座標変換の式などは同じなので省いてあります。前回のサンプルの後半にこのプログラムを挿入してみてください。斜交座標上に歪んだ円が描かれます。

斜交座標2(宿題の答え).nako

θとは数値
線太さは2。線色は赤色
8,4をX1,Y1へ斜交座標変換
Iを0から36まで繰り返す
　θ=DEG2RAD(I*10)
　3*COS(θ)+5,3*SIN(θ)+4をX2,Y2へ斜交座標変換
　X1,Y1からX2,Y2へ線
　X1=X2;Y1=Y2
　0.05秒待つ
 

さてそれでは今回のお題目は一次変換です。一次変換という名前は、数Ｃで出てくるので知っている人もいるでしょう[*1]。教科書ではさらっと流されがちの一次変換を、前回の内容と関連させながら解説していきましょう。前回のプログラムの斜交座標変換を一般化して色々な斜交座標変換をできるようプログラムを作っていきます。

それではまずプログラム例です。

一次変換1.nako

線色は青色。線太さは1。# 描画命令の属性設定

Aとは行列。　　# 変換行列
uとはベクトル。# 始点位置ベクトル
vとはベクトル。# 終点位置ベクトル
Iとは整数。　　# カウンタ

＃１
Aは『25,15
5,20』

＃２
Iを0から10まで繰り返す
　u="0{~}{I}"；v="11{~}{I}"　＃２−ａ
　Aでuを一次変換　＃２−ｂ
　Aでvを一次変換
　uからvへ線分を引く　＃２−ｃ
　u="{I}{~}0"; v="{I}{~}11"
　Aでuを一次変換
　Aでvを一次変換
　uからvへ線分を引く

＃３
# 線分UVを描く。u,vは2×1行列で指定する
●線分を引く({グループ}uから{グループ}vへ)
　母艦のu→要素[0],u→要素[1]からv→要素[0],v→要素[1]へ線


＃４
■行列
　・{配列}要素　＃４−ａ
　・データ　←行列設定 →行列取得 デフォルト　＃４−ｂ
　・行列設定(Ｖ)〜
　　要素＝ＶをＣＳＶ取得
　・行列取得〜
　　それは要素
　・掛ける({行列}Ｍを)〜　＃４−ｃ
　　Iとは整数。Jとは整数
　　ARRとは配列=M→要素
　　返り値とは配列
　　＃４−ｄ
　　Iを0から(ARRの表行数-1)まで繰り返す
　　　Jを0から(要素の表列数-1)まで繰り返す
　　　　ARR[I]を反復、返り値[I][J]に対象*要素[回数-1][J]を直接足す。＃４−ｅ
　　返り値を戻す
＃５
■ベクトル +行列
　・一次変換({行列}Ｍで)〜
　　要素=自身→掛ける(Ｍ)
 

それでは前回同様、数学的な解説から入りませう。数Ｃの教科書で、一次変換の説明は恐らく、書いてあったとしてもさらっとこんな感じで流されていると思います[*2]。

一次変換ｆ:Ｐ(x,y)→Ｑ(X,Y) とは、X=ax+by Y=cx+dy で引き起こされる変換である。
これは、２×２行列Ａによりq＝Ａp とも表わされる。

「ふーん」で終わりの典型的なパターンですね。しかも、線形代数を知っている人間からしてみると、なんじゃそりゃな説明になっています。まぁたかが高校の教科書なんてその程度ということですね。しかし、この式は前回見たのと同じ形をしています。分かりますでしょうか。ひとまず前回のおさらいしてみましょう。

一次（線型）結合

係数×変数の和の形の式

式で書けば�蚤_nx_n

斜交座標変換

一次結合式 X=ax+by Y=cx+dy により引き起こされる変換

別の書き方で書くと、(x,y)→(ax+by,cx+dy)

ところで、数Ｃで行列というものを習いますね。習っていない人のために簡単に説明すると、行列とは、なでしこで言う所の二次元配列のことです。行列の掛け算は次のように定義されています。

l×m行列Ａ＝(aij)とm×n行列Ｂ＝(bij)の積Ｃ＝ＡＢはl×n行列で、その各成分は
cij＝�蚤ik・bkj  [k=1〜m][*3]  …… ☆

では上の☆式でl=2,m=2,n=1として計算してみましょう。すると下記のように斜交座標変換と同じ、一次結合の式が出てきます。行列の積の定義で、各成分が一次結合の形になっているから当然ですね。

c11=a11b11+a12b21 (☆式でi=1,j=1とした)
c21=a21b11+a22b21 (☆式でi=2,j=1とした)

前置きが長かったですが、プログラムの解説に移りませう。今回はプログラムも長い目ですが、豪華なことにグループ変数の重要な機能がほぼ全て使われています。自分で言うのも何ですが、良いサンプルなので是非参考にしてください。

#1

前回の斜交座標変換と同じ変換を引き起こす行列。値の並びに注目！

#2

斜交座標軸を描画する部分

#2-a

u,vは2列ベクトル、つまり2×1行列で指定する必要がある。

#2-b

変換行列Ａを左からｕ，ｖに掛ける。ｕ，ｖは書き換えられる。

#2-c

#3の命令を呼び出す。斜交座標における線分 Y=I (0≦X≦11)

#3

点Ｕから点Ｖへ線分を引くユーザ定義命令。引数は2×1行列で指定する。

#4

グループで一般の行列を定義する。

#4-a

#4-bでセッターゲッターが設定されたメンバ変数「データ」で参照される実質上のデータ。

#4-b

セッターゲッターとデフォルトの設定。実質的な行列データは#4-aのメンバ「要素」を介してやり取りされる。

#4-c

自身に左から行列Ｍを掛け、返り値は配列型で返す。ＡをＢに掛けるのように使う。メンバ関数のため、ＢにＡを掛けるという語順では書けない。そもそも行列の積ＡＢとＢＡは全く違う物だから、左右の順序には要注意。

#4-d

☆式の定義通り各成分の計算をする。配列のインデックスは０からなので、Ｉ＝０〜l-1，Ｊ＝０〜n-1で繰り返し、反復内の回数がｋ＝１〜ｍに対応している。

#5

ベクトルはｎ×１行列と同一視して、行列とベクトルで掛け算をできるようにしたいので、行列をグループミックスする。ここで扱う一次変換は、行列ではなくベクトルに対する操作なので、「ベクトル」グループのメンバ関数として追加する。